教学成果

抽象代数—天大数学国家级一流本科课程

2020-12-03 09:00

天津大学数学学院院长孙笑涛开设的《抽象代数》被认定为国家级一流本科课程。



课程概述 ·

《抽象代数》是数学系本科生高年级专业课,也是基础课《高等代数》的延伸和提高。课程的设计理念是以经典的数学问题为导向,按照学生接受概念由具体到抽象、由熟悉到陌生的次序进行讲授。要求学生掌握群、环、域的基本概念和定理,尤其要了解它们产生的背景及如何应用它们描述和解决尺规作图问题与多项式方程是否有根式解的问题。培养学生欣赏数学的能力,初步理解现代数学的思想和方法。"



课程负责人为孙笑涛,团队成员包括宋基建、余讯、周明铄等。

很多学生对《抽象代数》这门课的印象,就是学了一大堆“群、环、域”的基本概念,而不知道他们用来干什么。其实数学中一些基本概念的引入以及他们性质的研究讨论,都是为了描写和解决一些数学问题而产生的副产品。如果仅仅只学习这些概念,而不去了解其产生的背景和要解决的问题,就如同一个英美文学专业的学生专注于学习古典英语的词汇和语法,而不去了解莎士比亚一样。

什么是我们《抽象代数》的“莎士比亚”?毫无疑问,就是数学历史上一些有名的经典难题。对这些问题的描述和解决,实际上就产生了现在《抽象代数》中 “群,环,域”等基本概念。

作为一个数学系的毕业生,不论他将来从事数学研究,还是任职中小学的数学教师,都应该了解这些问题是如何解决的,以及问题产生的历史故事。同时这也是数学中最美的部分之一。

本课程将围绕对这些问题的描述和解决,来讲授《抽象代数》这门课程。以经典问题为导向,以最自然的方式引入”群、环、域”的基本概念。为更好实现教学目标,课程负责人孙笑涛教授自编了讲稿和教材。

设计理念 ·

本课程的设计理念是以经典的数学问题为导向,按照学生接受概念由具体到抽象、由熟悉到陌生的次序进行讲授。围绕解方程问题,一些概念在整个课程中反复出现,逐渐加深,使学生更加容易理解和接受。

教学内容 ·

按照该理念,第一次课(2学时)向学生介绍了尺规作图问题及高次方程是否有根式解的问题。通过向学生展示3次方程的解公式说明“方程可解”的含义:它的解可通过有限次“四则混合运算+开根号”得到。从而说明我们考虑“对四则混合运算封闭的集合”的合理性,为域的定义埋下伏笔。同时向学生“通俗”地介绍了上述问题的解答,使学生有了解“群、环、域”的欲望。在紧接的第一章我们讲授了“域、环、群”及其同态的基本性质。

第二章重点讨论了整数环和多项式环的唯一分解性,引入了唯一分解整环的概念(此处需要通过历史上的故事向学生说明“唯一分解性”的重要性)。通过前两章基本概念的学习,学生容易产生疲惫。

所以在第三章我们首先向学生展示了如何利用所学概念描述和解决尺规作图问题。同时断言尺规作图问题实际上是“方程是否有根式解问题”的特殊情形以激发学生求知欲,并告诉学生:为了严格描述和解决“方程是否有根式解”问题,我们必须引入分裂域并研究它与方程系数域之间的“中间域”。在该章最后一节“群与域扩张”中,我们证明了“中间域”与“子群”的对应关系,为第四章“群论初步”的学习提供了动力。

在第四章第四节“Galois群的可解性”中,我们证明了“Galois群可解”当且仅当“方程可解”,并完整证明了一般高次方程是“不可解”的。在第四章第五节,我们通过Sylow定理的证明向学生介绍了“群作用”的概念。此处我们强调了“群在集合上的作用定义了集合上的等价关系”,并重新解释陪集分解。第五章“模论初步”为选讲内容,视学生具体情况而定。

专家评价 ·

厦门大学国家级教学名师万人计划入选者林亚南认为:本课程内容的选择和编排有新意、有特色,解决了大家都认为原来《抽象代数》搭舞台没唱戏的遗憾,相信很快在国内推广。讲课精炼到位,体现了数学家讲授课程的魅力。盼早日出书,尤其要合理编写习题,让更多的师生受益。

南京大学长江学者特聘教授、国家杰出青年基金获得者秦厚荣表示:学生们学习《抽象代数》常常陷入一个怪圈:被一堆抽象概念绕晕了,不理解这些抽象理论为什么提出?又有什么用?这种现象非常普遍,是《抽象代数》课程教学中的痼疾。孙笑涛教授的《抽象代数》课程是一个全新的设计,先介绍环和域,再利用Galois理论引入群论,这个设计令人有耳目一新之感。由域到群这个顺序也是Galois当年的思路,符合数学理论的历史发展规律,有利于学生了解数学问题的背景和发展历程,从而能更容易地理解抽象概念,运用这些概念。这是一个非常有益的尝试,为《抽象代数》课程的教学开辟了新的思路,值得国内同行借鉴。




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